fungsi-jangkauan dari fungsi

E. Jangkauan dari fungsi
Misalkan A = {a,b,c,d,e}; B = {1,2,3,4,5}. f : A→B adalah fungsi dari A ke B yang didefinisikan oleh diagram panah. Tampak bahwa : 2 bayangan dari a dan b
3 bayangan dari c dan d
4 bayangan dari c
Himpunan semua bayangan dari A adalah {2,3,4}. Himpunan tersebut disebut “jangkauan atau range” atau daerah hasil dari fungsi f ditulis f(A).
Contoh :
Diketahui f : A→R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f(x) = x2 – 2x – 3. jika R himpunan bilangan real, A = {x | -2 < x < 4, x R}.
Tentukan range dari f atau f (x).

Penyelesaian :



Lihat gambar
A maka 5 f(A)
-2 A maka 5 f(A)
A maka -4 f(A)
Jadi f(A) = {y | -4 ≤ y < 5, y R}

F. Jenis Fungsi
Fungsi satu-satu (injektif)
Misalkan f : A→B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi satu-satu jhj x1, x2 A, x1 x2 maka f (x1) f(x2)

f bukan fungsi injektif jhj x1, x2 A, x1 x2 tetapi f(x) = f(x2)
Contoh :
a. misalkan fungsi f : R→R didefinisikan rumus f(x) = x2 maka f bukan fungsi satu-satu (mengapa)
b. Misalkan fungsi g : R→R didefinisikan rumus g(x) = 2x + 1 maka g merupakan fungsi satu-satu.(mengapa)

2. Fungsi Kepada (surjektif)
Misalkan f : A→B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi kepada jhj range = kodomain atau f(A) = B.
contoh :
a. misalkan fungsi f : R→R didefinisikan rumus f(x) = x2 maka f bukan fungsi kepada (mengapa)
b. Misalkan fungsi g : R→R didefinisikan rumus g(x) = 2x + 1 maka g merupakan fungsi kepada.(mengapa)



“jika suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu dan juga fungsi kepada maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu kepada (bijektif)”
Contoh :
Misalkan fungsi g : R→R didefinisikan rumus g(x) = 2x + 1 maka g merupakan fungsi bijektif.(mengapa)

3. Fungsi Satuan
Misalkan f : A→A adalah fungsi didalam A maka fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = x disebut fungsi satuan atau fungsi identitas.
Contoh :
Diketahui f : R→R adalah fungsi di dalam R. dengan R = himpunan bilangan real dan f(x) = x
Gambarlah grafik fungsi f


b. Apakah f fungsi satuan?
c. Apakah f fungsi satu-satu?
d. Apakah f fungsi kepada?
Penyelesaian :
a. Grafik melalui titik (0,0) dan (2,2)
b. F fungsi satuan



c. F fungsi satu-satu sebab x1, x2 R, x1 x2 maka f(x1) f(x2)
d. F fungsi kepada sebab f(R) = R

4. Fungsi Konstan
misalkan f : A→A adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fungsi konstan jhj jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.
contoh :
f : R→R didefinisikan oleh f(x) = 3 dengan R = himpunan bilangan real.
a. apakah f fungsi konstan?
b. gambarlah grafiknya?
penyelesaian :
a. f fungsi konstan


b. grafik melalui titik (0,3) dan (2,3)


5. Invers suatu fungsi dan fungsi invers
a. f : A→B fungsi kepada inversnya f1 : B→A bukan sebab 3 B mempunyai dua kawan.
b. g : A→C fungsi satu-satu. Inversnya g1 : C→A bukan fungsi sebab 4 C tidak mempunyai kawan.
c. h : A→D fungsi satu-satu dan kepada. Inversnya h1 : D→A merupakan fungsi lagi, fungsi tersebut disebut fungsi invers.

Latihan
Diketahui R : A→B adalah relasi dari A ke dalam B. jika A = {2,3,4,5}; B = {3,4,5}. Relasi R di definisikan “x faktor dari y”
a. nyatakan R dengan diagram panah
b. apakah relasi R fungsi?mengapa?
2. Misalkan f(x) = x2 mendefinisikan suatu fungsi pada selang tertutup -2 ≤ x ≤ 5, carilah
a. f(0) b. f(3) c. f (4)
d. tentukan a sehingga f(a) = 4
3. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,0}. Berapakah banyaknya fungsi yang berbeda dari B ke dalam A dan apa saja?
4. Ambilah A = {-1,0,1,2,3}. Misalkan fungsi g : A→R didefinisikan oleh f(x) = x2 + 2. carilah jangkauan dari g.